半群論を勉強しよう (Let's Study Semigroup Theory)

- はじめに

• 半群（モノイド）とは
  半群は群から単位元の存在と逆元の存在の条件を取り去った代数のことです． 半群に単位元の条件を付けたものはモノイドと呼ばれます．任意の半群に単位元を 仮想的につけることが出来るので，半群とモノイドの差はほとんどないかもしれません．

• 計算機科学における半群論の位置づけ
  半群は計算機科学の中には普通に現れます．例えば，有限オートマトンは有限半群（あるいは有限モノイド）です．オートマトンも状態の集合を無限集合にとればチューリングマシンと 同じ能力を持ちますから，計算機科学で扱う計算機械はすべて半群と考えることが できます．また，集合からそれ自身への関数の集合も半群の枠組みで考えることができます．関数の集合とその合成は，計算機科学では頻繁に現れますから，半群論を扱う機会は 非常に多い訳です．また，計算機で多値の真偽値を扱う時は，その体系を束論 ^注)でとらえることも ありますが，そのとき使われる束は半群の一種です．このように計算機科学の ほとんどのものは半群と強い関連を持ちます．もちろん，それらを半群と見ることによって 特別有利なことがあるかどうかはケース・バイ・ケースではありますが．一方，群論は というと，計算機科学の中で 群がそのままの形で登場することはあまり無いように思います． それだけ，逆元を持つという条件は強い訳です．
  注) 束論についてはこちら（束論を勉強しよう）に少し書きました．

• 群論など他の代数系との関係
  半群論の歴史は群論に比べてかなり浅いです．本格的に研究されるようになったのは， 20世紀になってからですし，研究者も群論などと比べるとまだ少ないようです． それと比べると群論などはかなり先行して研究され沢山の知識が蓄積されています． 半群論の研究でもこれらの蓄積された知識を活用するというのは一つの戦略です． 例えば，半群論の中のグリーンの関係による構造解析では，半群を分解していって 群の因子とその他の因子に分けることにより全体の構造を理解します．一方，半群は 群より一般ですから，例えば自由群などの群で定式化されていた概念はより一般化された 自由半群や自由モノイドとしてとらえなおされる訳です．

  半群は環の中にも現れます．環の二つの演算のうち，乗法の演算系は半群になります． ここで蓄積された概念，例えば，イデアルなどは半群論の中でも定式化されます． また，環論から取り出され，半群論の中で定式化されたこれらの概念は環論を組み立てる 上での部品にもなり得る訳です．

  通常，半群論を学習，研究する場合は，ある程度，群論の知識はあった上で行います． 最も，後に挙げる A.J. Cain 氏の教科書は，半群の部分を丁寧に説明してあることと， 群論の問題へ移す直前までを記述してあるため，見かけ上，群論の知識が無くとも 読み進めることは可能です．しかし，たぶん，読者は群論の問題へ移してからが分からない ため，「分からない感」がつきまとうかもしれません．従って，群論など他の基礎的な抽象代数の 知識がない状況で，すぐ半群論を始めたい場合は，適当なところで群論や 必要に応じて，環・体，モジュール，束論なども平行して勉強すると良いと思います． それらの基礎的な勉強に役立ちそうなレクチャーノート類を

  初等的な抽象代数の勉強のためのリソース

  にリストアップしてみました．

• 半群論を学習する（私の）目的
  上で見てきたように，半群論は
  1. 計算機の分野の色々な問題が半群論の問題として定式化できること
  2. より複雑な代数系を理解する上で，概念的な部品となること
  3. いままで複合的な枠組みの中で定式化されていた概念をより単純な枠組みで捉えなおす 機会となること
  　を期待して，勉強していこうと考えています．

- この web-site で取り扱っているトピックス

• グリーンの関係のペーパークラフト
  グリーンの関係は左右および両側のイデアルを使った半群の要素の間の同値関係です． 半群の構造を把握する上で最も基本的とのことです．しっかり勉強する必要がありますが， やはり定義式だけでは中々実感が湧きません．そこで，一度，本で定義を学んだ上で， 小さな半群で計算して，図に書いてみることが理解を深めるのに有効です．これはさらに ペーパークラフトにして半群の構造がグリーンの関係でどのように把握できるかを 味わってみようという企画です．グリーンの関係の定義は書いていませんので， 並行して，下に書いた半群の教科書などで学習してください．あるいは，wikipedia などで 調べても良いと思います．
  

• 半群論に出てくる初等的な概念の説明
  Explanation of elementary concepts in semigroup theory

  こちらは現在のところかなり書きかけです．読めるところだけ読んでください．
  

• 半群論，オートマトン，言語理論の良い教科書
  (Textbooks for Semigroup Theory, Automata, Formal Languages)
  • A. J. Cain's "Nine Chapters on the Semigroup Art"
    半群論の基礎，構造の解析，Regular semigroups, Inverse semigroups, Variety, 有限半群，オートマトンなどすごく分かりやすく，丁寧に書かれています． 証明の記述もあまり飛躍がなく，初学者が行間を埋めるのに戸惑うことも少ないと思います． また，第８章の Varieties は，普遍代数（Unversal Algebra）の枠組みでかかれており， その基礎についても説明してあります．他の参考書に比べて，平易に，かつ，具体的に書いてあるので， 普遍代数の他の参考書を読む前の簡単な入門書としても使えます．

    今，見に行ったら版が，version 0.66.6 (2018-04-08) になって，さらに図などの 拡充があったみたいです（2018-05-06）．

    こちらに，この本に関してもう少し踏み込んで説明しました．
    

  • Mathematical Foundations of Automata Theory by JÉ Pin
    半群やオートマトン，バライアティ，Profinite Language など包括的にかつ平易に記述されたテキストです．後ろの方がまだ完成していないようですが，いつごろ完成するんでしょうか．楽しみです．

    また，この著者の書かれたスライドで，オートマトン，半群，群論の60年間の歩みを 書いたものが

    Automata, semigroups and groups: 60 years of synergy, by Jean-Éric Pin
    

    にあります．

  • Semigroups by Tero Harju 1996
    フィンランド Turku 大学の方で，彼のホームページに半群論や束論，グラフ理論など 色々なレクチャーノートを公開されています．半群論のレクチャーノートは90ページ弱の 短いものです．このレクチャーノートでは上にあげたテキストで扱われていない Combinatorial Topics があります．ここで張ったリンクは彼の各種レクチャーノートが公開してあるページなので Semigroups を探して参照してください．

  • 復刊 半群論 by 田村 孝行
    日本でも半群論を研究する人が増えることを期待して1972年に出版されたのですが， 結局盛り上がらなかったのか，廃刊になってしまいました，比較的最近，読者の要望で復刻しました．しかし，現状，日本で 半群論が流行っているとは言い難いです．このテーマの本が今後出てくることを願います．

• 普遍代数(Universal Algebra)
  普遍代数の知識は，束論や半群論，圏論を学ぶ上で，それらの背景や動機 （background and motivation）を「感じる」のに役に立つと思います 例えば，束論で algebraic lattice という束が出てきますが，これは 普遍代数の部分代数すべてがなす束をモデル化したものです． 束論のいくつかの部分は，このような代数の構造や性質を記述する動機で 研究された部分がありますので，普遍代数と一緒に学習すると 束論の動機が想像できて興味深い訳です．
  • チュートリアルの類をいくつかこちらに書きました

  • まとまった教科書としては次のようなものがあります
    1. A Course in. Universal Algebra. H. P. Sankappanavar. Stanley Burris. With 36 Illustrations c S. Burris and H.P. Sankappanavar, 2012

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