J.B. Nation の Notes on Lattice Theory への要望

(注意：このページにある第２の要望については，J.B. Nation に連絡し， 彼のホームページにある 新しい版の第２章に反映していただきました．closure rules の直後に １つパラグラフが追加されています．したがって，このページにある 第２の要望は以前の版に対するものであり，１つパラグラフが追加された 理由です． 2017年10月29日)

内容

1. 感謝
2. 第一の要望 (初心者への配慮)
3. 第二の要望 (Closure rules について)
   • 混乱の仕方 : Closure rules の出現箇所と意味の取違い
     
   • 解決方法
     
   • 第二の問題についての雑感

感謝

J.B. Nation, Notes on Lattice Theory

第一の要望

まず，数学的初心者への配慮が少ないことについて書きます． 例えば，第１章の Dilworth の定理は，有限順序集合でも無限順序集合でも 成立する定理なのですが，有限順序集合の場合は数学的帰納法を使えばできるのに対して， 無限順序集合の場合は，数理論理学のコンパクト性定理を使って証明しています．これが pp5-8 で登場してくる訳で，第１章でさえ，数学科の２年生くらいではなかなか読めないのではないでしょうか（もちろん数理論理学をすでにやっていれば読めるでしょうが，数学科の大部分が やっているとは思えません．でも，束論も２年生でやる人は少ないかも．）．

本来，束論自身はうまく教えれば数学科の２年生で十分理解できる内容だと思うのです． 無限集合の場合はとりあえずは飛ばして読んでもよいので，そのことに気づけば読み進められるのですが， 第一章の初っ端で読者を追い返すことはないと思う訳です．数理論理学を使った 証明自身は面白いのですが，やはり何らかの教育的な対処があってもよいなと思いました．

また，束の例として部分代数の空間の例がさらっとが出てきます． これは普遍代数を知らないとピンとこないものです．普遍代数については付録で簡単に定義 されますが，ということは著者は，ある程度の割合の読者が普遍代数を知らないと思っているわけで，そういう人にあの付録で分かれというのは難しいように思います．

あと，前方参照がかなりあります．

こういう部分に多少のケアがあると嬉しいのですが．

第二の要望 (Closure rules について)

これは，私が計算機科学の専攻だからだということも関係しているかもしれませんが，私は数年単位で悩んでしまいました（実は，昨日(2017.10.15) やっと分かりました）．もしかしたら同じように混乱される人がいるかもしれないので，混乱の仕方と，解決のしかたを 書いておきます．

- 混乱の仕方 : Closure rules の出現箇所と意味の取違い

と記述されています．(1) の形は (2) で Y = ∅ と置けばよいので，(2)の形の退化した形だと説明されます．したがって，(2) の形だけについて考えれば良い訳です．

この定義がでてくる文脈をもう少し書いておきます．この定義は，ほかに２つの概念 Closure system (閉集合の系) と Closure operator と同値なものとして出てきます．それぞれの定義と それらが同値であるという絵を次に描いておきます（J.B. Nation に要望を言おうと思って描いたので英語です）．この図で，P(X) は集合 X に対して，X のすべての部分集合の集合を返す関数です．

この絵の中でClosure system と Closure operator は大学１年生の 集合と位相の本に書いてある程度の概念で，これら２つが同値であることはそれらの本に 証明がのっていますから，問題ありません． Closure rules に戻りましょう．

上の図の Def.C がClosure rules ですね．実は，計算機屋さんにとってはこれはとても混乱を 招く定義です（と思います）．rule がある形の論理式に見えるので，その文法を推測しようとして，

「'Y' とか 'z' ってなんだろう？」

「論理式の中で出てくるので，何らかの文法を持った式かな？」

1. all rules Y ⊆ S => z ∈ S where z is an accumulation point of Y
   (位相空間 X のすべての閉集合の集合)

2. the rule 1 ∈ S and
   all rules x ∈ S => x^-1 ∈ S
   {x, y} ⊆ S => xy ∈ S
   with x, y ∈ G
   (群 G の部分集合の集合)

3. 0 ∈ S and all rules {x, y} ⊆ S => a*x + b*y ∈ S with a, b scalars
   (ベクトル空間 V の部分空間の集合)

4. for all pairs with x < y in P the rules y ∈ S => x ∈ S
   (順序集合 P のオーダーイデアルの集合)

5. for all x, y ∈ Rⁿ and 0 < t < 1, the rules {x, y} ⊆ S => t*x+ (1-t)*y ∈ S
   (ユークリッド空間 Rⁿ の凸部分集合の集合)

これらの例をみて，

「こういう具合に，Y のところに，∅ とか {x, y} とかいろいろ書いているところを みると，単に変数 Y と書けるだけではないのだな．」

「でも，1 は，Y のまま書いてあるし，さらに，z は Y の集積点で，Yの関数にもなっていないし， 一般系はどんな文法だろう？」

とか悩んで，およその文法を推測しておりました．

この本ではこのあと代数的束（algebraic lattice）などがこの Closure rules を使って定義 されていますので，これを分からないまま進むわけにはいきません．というわけで， 長年悩んでいて，これは J.B. Nation さん，間違えてるなと思って，要望を書き始めたところ， 先ほど解決したという訳です．

- 解決方法

J.B. Nation さんに要望を書き始めて，はじめて真剣に考えたのでしょう．やっと 分かりました．Def.Cの定義は述語論理の命題を定義しようとしている訳でなく， Closure rules の定義は，次のような定義に置き換えると誤解がなく読み進められると 思います．

つまり，Y ⊆ S のとき，必然的に S に含まれる要素 z のペアの列挙な訳です． この Y は，無限集合になることもありますから，人間が記述できるようなもので あるとは限りません．また，ペア (Y, z) の組も無限集合になることがあります． それも，可算個というような生易しい数ではなく，任意の濃度（cardinality）に なり得ます．もう一度言うと，人間が何らかの記法で書き得る rules ではなく 概念的に定まる Y と z の対の集合です．

先ほどの５つの例は以下のように書き直されます．

1. all rules Y ⊆ S => z ∈ S where z is an accumulation point of Y
   (位相空間 X のすべての閉集合の集合)
   {(Y, z) : ∀Y ⊆ X, ∀z is an accumulation point of Y}

2. the rule 1 ∈ S and
   all rules x ∈ S => x^-1 ∈ S
   {x, y} ⊆ S => xy ∈ S
   with x, y ∈ G
   (群 G の部分集合の集合)
   {(∅, 1)} ∪ {({x}, x^-1) : ∀x ∈ G} ∪ {({x,y}, xy) : ∀x, ∀y ∈ G}

3. 0 ∈ S and all rules {x, y} ⊆ S => a*x + b*y ∈ S with a, b scalars
   (ベクトル空間 V の部分空間の集合)
   {(∅, 0)} ∪ {({x, y}, a*x + b*y)} : ∀x, ∀y ∈ V, with a, b scalars}

4. for all pairs with x < y in P the rules y ∈ S => x ∈ S
   (順序集合 P のオーダーイデアルの集合)
   {({y}, x) : ∀x, ∀y ∈ P, x ≤ y }

5. for all x, y ∈ Rⁿ and 0 < t < 1, the rules {x, y} ⊆ S => t*x+ (1-t)*y ∈ S
   (ユークリッド空間 Rⁿ の凸部分集合の集合)
   {({x, y}, t*x+ (1-t)*y) : ∀x, ∀y ∈ Rⁿ and 0 < t < 1}

- A set of closure rules の記述力についての注意
(数理論理学や集合の基数を知らない方は飛ばして結構です)

- 第二の問題についての雑感

たぶん，あの Closure rules の定義は，普遍代数の素養があり，数学の文脈で このテキストが書かれているということが分かっているひとには，もしかしたら， すんなり受け入れられる定義なのかもしれません．基本的には，普遍代数の部分代数を 作るときのルールを書き下している訳ですから．

周りに聞いてみて，勘違いする人が多ければ，もしかしたら J.B. Nation さんに 連絡を入れてみようかとも思いますが，私の周りに相談する人がいないんですよね．

（後日談）
結局，J.B. Nation さんにコンタクトをとって本件について聞いてみました． で，結果は，「これでうまく ambiguity を取れてますね．」ということでした (2017年10月28日)．

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